Question

【題目】在對(duì)樹(shù)人中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身高的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62.你能由這些數(shù)據(jù)計(jì)算出總樣本的方差，并對(duì)高一年級(jí)全體學(xué)生的身高方差作出估計(jì)嗎？

Answer 1

【答案】能，估計(jì)為51.4862

【解析】

引入記號(hào)，把男生樣本記為，其平均數(shù)記為，方差記為；把女生樣本記為，其平均數(shù)記為，方差記為；把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為，方差記為.

根據(jù)方差的定義，總樣本方差為，為了與聯(lián)系，變形為，計(jì)算后可得，.這樣變形后可計(jì)算出．這也就是估計(jì)值．

把男生樣本記為，其平均數(shù)記為，方差記為；把女生樣本記為，其平均數(shù)記為，方差記為；把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為，方差記為.

根據(jù)方差的定義，總樣本方差為

由，可得

.

同理可得

.

因此，

.①

由，，根據(jù)按比例分配分層隨機(jī)抽樣總樣本平均數(shù)與各層樣本平均數(shù)的關(guān)系，可得總樣本平均數(shù)為

.

把已知的男生、女生樣本平均數(shù)和方差的取值代入①，可得

.

我們可以計(jì)算出總樣本的方差為51.4862，并據(jù)此估計(jì)高一年級(jí)學(xué)生身高的總體方差為51.4862.