Question

已知直線l經(jīng)過點(diǎn)A（1，3），求：
（1）直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程；
（2）直線l與兩坐標(biāo)軸的正向圍成三角形面積最小時(shí)的直線方程；
（3）求圓x²-6y+y²+2y=0關(guān)于直線OA對稱的圓的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的截距式方程

專題：直線與圓

分析：（1）分類討論：直線經(jīng)過原點(diǎn)和不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)兩種情況：再利用截距式即可得出；
（2）利用截距式、基本不等式及其三角形的面積計(jì)算公式即可得出；
（3）利用軸對稱的性質(zhì)求出圓心關(guān)于直線OA的對稱點(diǎn)即可得出．

解答： 解：（1）若直線l的截距為0，則直線方程為y=3x；
若直線l的截距不為零，則可設(shè)直線方程為：

x

a

+

y

b

=1，由題設(shè)有

1

a

+

3

a

=1，解得a=

1

4

，所以直線方程為：x+y-4=0，
綜上，所求直線的方程為3x-y=0或x+y-4=0．
（2）設(shè)直線方程為：

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），

1

a

+

3

b

=1，而面積S=

1

2

ab，
又由

1

a

+

3

b

=1　得1=

1

a

+

3

b

≥2

1 a × 3 b

，化為ab≥12．
等號當(dāng)且僅當(dāng)

1

a

=

3

b

=

1

2

成立，即當(dāng)a=2，b=6時(shí)，面積最小為12
所求直線方程為3x+y-6=0
（3）由題可知直線OA的方程為y=3x，
又由圓x²-6y+y²+2y=0，知圓心為（3，-1），半徑為

10

．
設(shè)圓心關(guān)于直線OA的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），由

3• x+3 2 - y-1 2 =0 y+1 x-2 =- 1 3

解得　x=-3，y=1．，
故所求圓的方程為�。▁+3）²+（y-1）²=10．

點(diǎn)評：本題考查了直線的截距式、基本不等式及其三角形的面積計(jì)算公式、軸對稱的性質(zhì)、分類討論等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．