Question

【題目】如圖，F是橢圓的左焦點，橢圓的離心率為，B為橢圓的左頂點和上頂點，點C在x軸上，，的外接圓M恰好與直線：相切．

1求橢圓的方程；

2過點C的直線與已知橢圓交于P，Q兩點，且，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】

試題解：（Ⅰ）因為橢圓的離心率為，得，所以直線的斜率，直線的方程為，得到，所以圓的方程為

由圓恰好與直線相切，由點到直線的距離公式可得，得即可求出所求的橢圓方程.（Ⅱ）由（Ⅰ）得直線，聯(lián)立方程消去得.利用韋達定理表示出 ，即可得到.

進而求出結果.

試題解析：解：（Ⅰ）因為橢圓的離心率為，得

得．

所以直線的斜率，直線的方程為，

得到，

所以圓的方程為

由圓恰好與直線相切，

得

∴所求的橢圓方程為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得直線

由消去得.

設,則

所以，

所以.

滿足從而

直線的方程為.