Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）令，判斷g(x)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)x＞1時，，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）討論的范圍，分別利用導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性判斷函數(shù)是否有最大值，當(dāng)函數(shù)有最大值時，令其最大值小于零即可求得的范圍.

（1）由，則，

所以（x＞0）．

①當(dāng)a≤0時，，為的減函數(shù)；

②當(dāng)a＞0時，

若，即時，，為的減函數(shù)；

若，即時，由有兩根得

在上，為減函數(shù)；在上，為增函數(shù)；

在上，為減函數(shù)．

綜上：當(dāng)時，為的減函數(shù)；

當(dāng)時，在上，為減函數(shù)；在上，為增函數(shù)；在上，為減函數(shù)．

（2）由（1）知，對a討論如下，

①當(dāng)a≤0時，，則為（1，＋∞）上的減函數(shù)，

則，故為（1，＋∞）的減函數(shù)，

由于，所以，即a≤0時滿足題意．

②當(dāng)a＞0時，由于，對其討論如下：

(A)若，即a≤1，則由（1）知，為（1，＋∞）上的減函數(shù)，

則，所以為（1，＋∞）的減函數(shù)，

由于，所以，即0＜a≤1時滿足題意．

(B)若，即a＞1，則由（1）知，

當(dāng)時，為（1，＋∞）上的減函數(shù)，又，

所以存在，使得在時，，于是為的增函數(shù)，

因為，

所以，即1＜a≤時不滿足題意．

當(dāng)時，由于，所以對與1的大小關(guān)系討論如下，

1)如果，即，那么由（1）知，為（1，＋∞）上的減函數(shù)，

又，

則存在，使得在時，，于是為的增函數(shù)，

又，則，即時不滿足題意．

2)如果，即，那么由（1）知，為（1，）上的增函數(shù)，

則當(dāng)時，，于是為的增函數(shù)，

又，則，即時不滿足題意．

綜上所述，a的取值范圍為．