Question

【題目】如圖，在P地正西方向8km的A處和正東方向1km的B處各有一條正北方向的公路AC和BD，現(xiàn)計(jì)劃在AC和BD路邊各修建一個(gè)物流中心E和F，為緩解交通壓力，決定修建兩條互相垂直的公路PE和PF，設(shè)

Ⅰ為減少對(duì)周邊區(qū)域的影響，試確定E，F的位置，使與的面積之和最��；

Ⅱ為節(jié)省建設(shè)成本，求使的值最小時(shí)AE和BF的值．

Answer 1

【答案】(1) 當(dāng)km，km時(shí)，與的面積之和最小.

(2) 當(dāng)為，且為時(shí)，的值最小.

【解析】

試題分析：（1）用角表示，從而表示三角形的面積，求出面積之和用基本不等式求最小值，求出等號(hào)成立時(shí)的，即可確定的位置；

（2） 用角表示，構(gòu)建函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)與最值的關(guān)系求之即可．

試題解析：（1）在Rt△PAE中，由題意可知，AP=8，則．

所以． 2分

同理在Rt△PBF中，，PB＝1，則，

所以． 4分

故△PAE與△PFB的面積之和為5分

=8，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取“＝”，

故當(dāng)km，km時(shí)，與的面積之和最小． 6分

（2）在Rt△PAE中，由題意可知，則．

同理在Rt△PBF中，，則．

令，， 8分

則， 10分

令，得，記，，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)增．

所以時(shí)，取得最小值， 12分

此時(shí)，．

所以當(dāng)km，且km時(shí)，PE+PF的值最小． 14分