Question

【題目】已知數(shù)列、滿(mǎn)足，且

（1）令證明：是等差數(shù)列，是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；

（3）求數(shù)列和的前n項(xiàng)和公式．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2），；（3）數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為.

【解析】

（1）在等式中將兩式分別相加或相減，利用等差數(shù)列的定義可證明出數(shù)列是等差數(shù)列，利用等比數(shù)列的定義可證明出數(shù)列為等比數(shù)列；

（2）求出數(shù)列、的通項(xiàng)公式，可建立關(guān)于、的方程組，解出、，即可得出數(shù)列和的通項(xiàng)公式；

（3）利用分組求和法可求出數(shù)列和的前項(xiàng)和.

（1），

將上述兩等式相加得，

即，因此，又，

所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，.

又由題設(shè)得，即，

因此，又，

所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，；

（2）由（1）知，，即，

解得，；

（3）設(shè)數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，

則，同理可得.