Question

【題目】已知函數(shù)， ， ．

（1）若，且存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于點， ，過線段的中點作軸的垂線分別交， 于點， ，證明： 在點處的切線與在點處的切線不平行．

Answer 1

【答案】（1）．（2）見解析.

【解析】試題分析：（1），則 ，所以有解，即有的解，所以，所以的取值范圍為；（2）設(shè)點、的坐標(biāo)分別為， ，則點， 的橫坐標(biāo)為， 在點處的切線斜率為， 在點處的切線斜率為，由反證法證明得在點處的切線與在點處的切線不平行．

試題解析：

（1）時， ，則 ，

因為函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以有解，

又因為，則有的解，

所以，

所以的取值范圍為．

（2）設(shè)點、的坐標(biāo)分別為， ， ，

則點， 的橫坐標(biāo)為， 在點處的切線斜率為，

在點處的切線斜率為，

假設(shè)在點處的切線與在點處的切線平行，則，即，

則，

所以，設(shè)，則， ，①

令， ，則，

因為時， ，所以在上單調(diào)遞增，故，

則，這與①矛盾，假設(shè)不成立，

故在點處的切線與在點處的切線不平行．