Question

19．在平面直角坐標(biāo)系中，A（4，0）、B（-4，0），且$\frac{sinA+sinB}{sinC}$=$\frac{5}{4}$，則△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1（y≠0）．

Answer 1

分析 由$\frac{sinA+sinB}{sinC}$=$\frac{5}{4}$，可得CA+CB=$\frac{5}{4}$AB，利用A（4，0）、B（-4，0），CA+CB=10＞AB，符合橢圓定義，所以△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程可求．

解答 解：∵$\frac{sinA+sinB}{sinC}$=$\frac{5}{4}$，
∴CA+CB=$\frac{5}{4}$AB
∵A（4，0）、B（-4，0），
∴CA+CB=10＞AB，
∴△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10的橢圓（除去與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)）．
∴a=5，c=4，∴b²=a²-c²=9
∴△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1（y≠0）．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1（y≠0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．