Question

【題目】如圖，四邊形是平行四邊形，平面 平面，， ，,,,，為的中點.

（1）求證： 平面；

（2）求證： 平面；

（3）求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）見證明；（3）

【解析】

（1）取的中點，通過證明四邊形是平行四邊形，可得到 ，從而得證；

（2）由余弦定理證得，通過平面平面即可得證；

（3）由 平面，所以點到平面的距離等于點到平面的距離，通過計算距離即可.

（1）證明：取的中點，連接，

在中，因為是的中點，

所以 且，

因為 ， ，，

所以 且，

所以四邊形是平行四邊形，所以 ，

又平面，平面，

所以 平面．

（2）證明：在中，，，，

由余弦定理得，

因為，

所以.

因為平面平面，平面,平面平面，

所以平面.

（3）解法1：由（1） 平面，

所以點到平面的距離等于點到平面的距離，

設(shè)點到平面的距離為，

過作，交的延長線于，

則平面，所以是三棱錐的高

由余弦定理可得，

所以,.

.

因為，

即，解得.

所以點到平面的距離為．

解法2：因為 ，且,

所以點到平面的距離等于點到平面的距離的，

由（2）面.

因為平面，所以平面平面．

過點作于點，又因為平面平面，故平面.

所以為點到平面的距離．

在中，，

由余弦定理可得

所以，

因此，

所以點到平面的距離為