Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1為菱形且∠BAA1＝60°，D，M分別為CC1和A1B的中點(diǎn)，A1D⊥CC1，AA1＝A1D＝2，BC＝1．

（1）證明：直線MD∥平面ABC；

（2）求D點(diǎn)到平面ABC的距離．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）根據(jù)題意，得到共點(diǎn)的三條直線兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量與平面的法向量垂直，從而證得線面平行；

（2）利用點(diǎn)D與平面ABC內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)連線構(gòu)成的向量在平面ABC的法向量上的投影的絕對(duì)值，來求得點(diǎn)到平面的距離.

⑴解：，且D為中點(diǎn)，.

,

又，，

，.

又，.

取中點(diǎn)F，則，即BC、BF、兩兩互相垂直.

以B為原點(diǎn)，、BF、BC分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則（2，0，0），C（0，0，1），A（-1，，0），（1，，0），

（2，0，1），D（1，0，1），M（，，0），B（0，0，0），

（，，1），（-1，，0），（0，0，1），

設(shè)平面ABC的法向量為（x，y，z），

則，取，得（，1，0），

，.

又平面ABC，∴直線MD//平面ABC.

（2）由（1）知平面ABC的法向量為（，1，0），（1，0，1）

∴D到平面ABC的距離：.