Question

【題目】如圖，直三棱柱中，，，點(diǎn)是中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求證：平面；

（3）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）．

【解析】

（1）由等腰三角形和直棱柱的性質(zhì)，得出和，根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證出平面；

（2）連接，交于點(diǎn)，連接，結(jié)合三角形的中位線得出，根據(jù)線面平行的判定定理，即可證出平面；

（3）連，交于點(diǎn)，分別取、中點(diǎn)、，連接、、，根據(jù)線面垂直的判定定理，可證出平面和平面，從而得出就是二面角的平面角，最后利用幾何法求出二面角的余弦值．

解：（1）證明：，是中點(diǎn)，，

又在直三棱柱中，平面，平面，

，

又，平面，平面，

平面．

（2）證明：連接，交于點(diǎn)，連接，

、分別是、的中點(diǎn)，

是的中位線，，

平面，平面，

平面

（3）解：連，交于點(diǎn)，分別取、中點(diǎn)、，連接、、，

四邊形是正方形且、分別是、的中點(diǎn)，故，

在中，，，

，，

又，分別是，中點(diǎn)且，

，

又在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，

，

，平面，平面，

平面，

平面，平面，

，，

又，，平面，平面，

平面，

平面，，

又平面平面

就是二面角的平面角，

設(shè)，則在中，，

，

故，

故，

即二面角的余弦值為.