Question

【題目】如圖，直三棱柱的底面為等邊三角形，、分別為、的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且.

（1）證明：平面平面；

（2）若，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）推導(dǎo)出平面，可得出，結(jié)合，利用線面垂直的判定定理可得出平面，再由面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；

（2）由平面得出，利用勾股定理計(jì)算出的長(zhǎng)，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求出二面角的余弦值.

（1）因?yàn)槿�棱�?/span>為直三棱柱，所以平面，

平面，，

因?yàn)?/span>為等邊三角形，為的中點(diǎn)，所以.

又，所以平面，

平面，所以.

又因?yàn)?/span>，，所以平面.

又因?yàn)?/span>平面，所以平面平面；

（2）由（1）可知平面，所以.

設(shè)，則有，即，得.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，

設(shè)平面的法向量為，，，

由，令，可得，，則，

因?yàn)?/span>平面，所以平面的一個(gè)法向量為，

，

由圖形可知，二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為.