Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB＝90°AD∥BC，AD⊥側(cè)面PAB，△PAB是等邊三角形，DA＝AB＝2，BC，E是線段AB的中點(diǎn).

（1）求證：PE⊥CD；

（2）求PC與平面PDE所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）先證明，再證明，又，推出PE⊥平面ABCD，然后證明PE⊥CD；

（2）以E為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，推出（2，1，0），（0，0，），（1，﹣1，），設(shè)（x，y，z）為平面PDE的一個法向量，由 可以求得（1，﹣2，0），設(shè)PC與平面PDE所成的角為θ，利用，最后得出PC與平面PDE所成角的正弦值為.

（1）∵AD⊥側(cè)面PAB，PE平面PAB，∴AD⊥EP.

又∵△PAB是等邊三角形，E是線段AB的中點(diǎn)，∴AB⊥EP.

∵AD∩AB＝A，∴PE⊥平面ABCD.

∵CD平面ABCD，∴PE⊥CD.

（2）以E為原點(diǎn)，EA、EP分別為y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則E（0，0，0），C（1，﹣1，0），D（2，1，0），P（0，0，）.

（2，1，0），（0，0，），（1，﹣1，）.

設(shè)（x，y，z）為平面PDE的一個法向量.

由 ，令x＝1，可得（1，﹣2，0）

設(shè)PC與平面PDE所成的角為θ，得

所以PC與平面PDE所成角的正弦值為.