Question

【題目】已知點，直線與拋物線交于不同兩點、，直線、與拋物線的另一交點分別為兩點、，連接，點關于直線的對稱點為點，連接、．

（1）證明：；

（2）若的面積，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

（1）設點、，求出直線、的方程，與拋物線的方程聯立，求出點、的坐標，利用直線、的斜率相等證明出；

（2）設點到直線、的距離分別為、，求出，利用相似得出，可得出的邊上的高，并利用弦長公式計算出，即可得出關于的表達式，結合不等式可解出實數的取值范圍.

（1）設點、，則，

直線的方程為：，

由，消去并整理得，

由韋達定理可知，，，

代入直線的方程，得，解得，

同理，可得，

，，

,代入得，

因此，；

（2）設點到直線、的距離分別為、，則，

由（1）知，，，

，，，

同理，得，，

由，整理得，由韋達定理得，，

，得，

設點到直線的高為，則，

，

，

，解得，因此，實數的取值范圍是.