Question

已知函數(shù)f(x)＝·e^x－f(0)·x＋x²(e是自然對數(shù)的底數(shù))．

(1)求函數(shù)f(x)的解析式和單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)g(x)＝x²＋a與函數(shù)f(x)的圖像在區(qū)間[－1,2]上恰有兩個不同的交點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：(1)由已知得f′(x)＝e^x－f(0)＋x，

令x＝1，得f′(1)＝f′(1)－f(0)＋1，

即f(0)＝1.又f(0)＝，所以f′(1)＝e.

從而f(x)＝e^x－x＋x².

顯然f′(x)＝e^x－1＋x在R上單調(diào)遞增且

f′(0)＝0，故當x∈(－∞，0)時，f′(x)<0；

當x∈(0，＋∞)時，f′(x)>0.

∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)，

單調(diào)遞增區(qū)間是(0，＋∞)．

(2)由f(x)＝g(x)得a＝e^x－x.

令h(x)＝e^x－x，則h′(x)＝e^x－1.

由h′(x)＝0得x＝0.

所以當x∈(－1,0)時，h′(x)<0；

當x∈(0,2)時，h′(x)>0.

∴h(x)在(－1,0)上單調(diào)遞減，

在(0,2)上單調(diào)遞增．

又h(0)＝1，h(－1)＝1＋，h(2)＝e²－2

且h(－1)<h(2)．

∴兩個圖像恰有兩個不同的交點時，

實數(shù)a的取值范圍是.