Question

【題目】數(shù)列的前項(xiàng)和為， 已知，且， ， 三個(gè)數(shù)依次成等差數(shù)列.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅲ）若數(shù)列滿(mǎn)足，設(shè)是其前項(xiàng)和，求證： .

Answer 1

【答案】（I）；（II）；（Ⅲ）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）先由和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系得項(xiàng)之間遞推關(guān)系式，再依次求，根據(jù)等差中項(xiàng)性質(zhì)列方程，解得的值；（2）將項(xiàng)之間遞推關(guān)系式進(jìn)行整理變形為,根據(jù)等比數(shù)列定義以及通項(xiàng)公式求得，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）先化簡(jiǎn)得，再?gòu)牡谌��?xiàng)起放縮并利用裂項(xiàng)相消法求和得.

試題解析：（Ⅰ）由已知，得

當(dāng)時(shí)， ， ①

當(dāng)時(shí)， ， ②

又∵成等差數(shù)列，∴ ③

將①、②代入③解得：

（Ⅱ）由得：

∴ 即

∴,

∴是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列

∴ ，

∴.

（Ⅲ）由得：

①當(dāng)時(shí)， ，

②當(dāng)時(shí)， ，

③當(dāng)， 時(shí)， ，

∴

.

綜上所述，當(dāng)時(shí)， .