Question

8．已知邊長為6的正三角形ABC，$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$，AD與BE交于點(diǎn)P，則$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PD}$的值為$\frac{27}{4}$．

Answer 1

分析 由題意以BC為x軸，以BC的垂直平分線為y軸，建立坐標(biāo)系，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)三等分點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)式，求出直線直線BE的方程，令x=0，得到P點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)向量的數(shù)量積即可求出答案．

解答 解：∵等邊三角形ABC的邊長為6，$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$，
∴以BC為x軸，以BC的垂直平分線為y軸，
∴B（-3，0），C（3，0），A（0，3$\sqrt{3}$），D（0，0），
∴E（$\frac{2×0+3}{3}$，$\frac{2×3\sqrt{3}+0}{3}$）=（1，2$\sqrt{3}$），
∴直線BE的方程為$\frac{y-0}{2\sqrt{3}-0}$=$\frac{x+3}{1+3}$，即y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x+3），
令x=0，得y=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴P（0，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{PB}$=（-3，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{PD}$=（0，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PD}$=-3×0+（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）×（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）=$\frac{27}{4}$．
故答案為：$\frac{27}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量數(shù)量積的求法，以及三等分點(diǎn)坐標(biāo)公式，直線方程的求法，關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，是中檔題．