Question

16．在平面直角坐標系xOY中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$=0，直線l與x，y軸分別交于點A，B，點P是曲線C上任意一點．
（1）求弦OP的中點M的軌跡的直角坐標方程；
（2）求△PAB面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（1+cosθ，sinθ），由O（0，0），先求出弦OP的中點M的軌跡的參數(shù)方程，由此能求出弦OP的中點M的軌跡的直角坐標方程．
（2）求出直線l和曲線C的直角坐標方程，曲線C是以C（1，0）為圓心以1為半徑的圓，求出P到直線l的最小距離，由此能求出△PAB面積的最小值．

解答 解：（1）∵曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
點P是曲線C上任意一點，以坐標原點O為極點，
∴設(shè)P（1+cosθ，sinθ），O（0，0），
∴弦OP的中點M（$\frac{1+cosθ}{2}$，sinθ），
∴弦OP的中點M的軌跡的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1+cosθ}{2}}\\{y=\frac{sinθ}{2}}\end{array}\right.$，
∴弦OP的中點M的軌跡的直角坐標方程為$（x-\frac{1}{2}）^{2}+{y}^{2}$=$\frac{1}{4}$．
（2）直線l的極坐標方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$=0，即$\frac{\sqrt{2}}{2}ρsinθ+\frac{\sqrt{2}}{2}ρcosθ+\sqrt{2}=0$，
∴直線l的直角坐標方程為x+y+2=0，
∵直線l與x，y軸分別交于點A，B，∴A（-2，0），B（0，-2），
∵曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
∴曲線C的直角坐標方程為（x-1）²+y²=1，曲線C是以C（1，0）為圓心以1為半徑的圓，
圓心C（1，0）到直線l的距離$d=\frac{|1+0+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵P是曲線C上的動點，∴P到直線l的最小距離$hm9lrdf_{min}=\frac{3\sqrt{2}}{2}-1$，
|AB|=$\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$，
∴△PAB面積的最小值${S}_{min}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×（\frac{3\sqrt{2}}{2}-1）$=3-$\sqrt{2}$．

點評 本題考查點的軌跡的直角坐標方程，考查三角形面積的最小值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．