Question

【題目】若平面點(diǎn)集 滿足：任意點(diǎn) ，存在 ，都有 ，則稱該點(diǎn)集 是“ 階聚合”點(diǎn)集。現(xiàn)有四個(gè)命題：
①若 ，則存在正數(shù) ，使得 是“ 階聚合”點(diǎn)集；
②若 ，則 是“ 階聚合”點(diǎn)集；
③若 ，則 是“2階聚合”點(diǎn)集；
④若 是“ 階聚合”點(diǎn)集，則 的取值范圍是 .
其中正確命題的序號(hào)為（ ）
A.①④
B.②③
C.①②
D.③④

Answer 1

【答案】A
【解析】①：M={(x,y)|y=2x}，則點(diǎn)集為 ，(tx,ty)∈M ， ①正確；
②：∵M={(x,y)|y=x2}，取(2,4)，而點(diǎn)(1,2)M ， ②有誤；
③：取 為集合M上的一點(diǎn)，則點(diǎn) ，③有誤；
④：∵x2+y21，根據(jù)題意，得∴t2(x2+y2)1恒成立，
則 即
∵t∈(0,+∞)，∴t∈(0,1].④正確；
故答案為：A
由題可得，若M中點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)同時(shí)擴(kuò)大t倍仍在M中，則成為t階聚合，所以將每一個(gè)選項(xiàng)的x,y同時(shí)擴(kuò)大，看是否滿足M中的條件即可。