Question

設(shè)x，y滿足約束條件

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0，y≥0

，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為6，則

1

a

+

2

b

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃,基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，確定z取最大值點(diǎn)的最優(yōu)解，利用基本不等式的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-

a

b

x+

z

b

，
則直線的斜率k=-

b

a

＜0，截距最大時(shí)，z也最大．
平移直y=-

a

b

x+

z

b

，由圖象可知當(dāng)直線y=-

a

b

x+

z

b

經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，
直線y=-

a

b

x+

z

b

的截距最大，此時(shí)z最大，
由

3x-y-6=0 x-y+2=0

，解得

x=4 y=6

，
即A（4，6），
此時(shí)z=4a+6b=6，
即

2a

3

+b=1，
∴

1

a

+

2

b

=（

1

a

+

2

b

）（

2a

3

+b）=

8

3

+

b

a

+

4a

3

≥

8

3

+2

b a • 4a 3

=

8

3

+

4 3

3

=

8+4 3

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)

b

a

=

4a

3b

，即a=

3

2

b時(shí)取等號(hào)，此時(shí)b=

3- 3

2

，a=3-

3

時(shí)取等號(hào)．．
故答案為：

8+4 3

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義先求出最優(yōu)解是解決本題的關(guān)鍵，利用基本不等式的解法和結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的突破點(diǎn)．