Question

（08年福州質(zhì)檢二）（12分）

已知點(diǎn)A（－2,0），B（2,0），動(dòng)點(diǎn)P滿足：∠APB=2,且|PA||PB|sin²θ=2，

（Ⅰ）求證：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡Q是雙曲線；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)B的直線與軌跡Q交于兩點(diǎn)M，N.試問(wèn)軸上是否存在定點(diǎn)C，使為常數(shù)，若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

 

Answer 1

解析: （Ⅰ）依題意，由余弦定理得：

, ……2分

即

　　

.

,即.　　…………4分

（當(dāng)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)共線時(shí)也符合上述結(jié)論）

動(dòng)點(diǎn)的軌跡Q是以為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線．其方程為.………6分

(Ⅱ)假設(shè)存在定點(diǎn),使為常數(shù)．

（1）當(dāng)直線不與軸垂直時(shí)，

設(shè)直線的方程為,代入整理得:

．…………7分

由題意知，．

設(shè),,則,．…………8分

于是，   …………9分

．…………10分

要使是與無(wú)關(guān)的常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)．…11分

（2）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，可得點(diǎn),，

當(dāng)時(shí)，．   

故在軸上存在定點(diǎn),使為常數(shù).…………12分