Question

【題目】如圖，橢圓C：（），，分別是橢圓C的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)D在橢圓上，且，，的面積為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過(guò)的直線(xiàn)l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)A，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)和這個(gè)常數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

Answer 1

【答案】（1）（2），常數(shù)為.

【解析】

（1）根據(jù)線(xiàn)段比例關(guān)系及面積，集合橢圓中關(guān)系，可得方程組，解方程即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿(mǎn)足為常數(shù).當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線(xiàn)方程，并聯(lián)立橢圓方程，由韋達(dá)定理表示出，進(jìn)而表示出.根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合系數(shù)比相同時(shí)為常數(shù)，即可求得的值，進(jìn)而確定的值；當(dāng)斜率不存在時(shí)，易得兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，即可確定取的值時(shí)的值是否與斜率存在時(shí)的一致.

（1）橢圓C：（），，分別是橢圓C的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且，.

則點(diǎn)的坐標(biāo)為，（）.代入橢圓方程可得，

解得.

又因?yàn)?/span>，的面積為.

所以 ，解得

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）假設(shè)在軸上存在點(diǎn)A，使為常數(shù)，設(shè).

當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，直線(xiàn)過(guò)，設(shè)..

則，化簡(jiǎn)可得，

所以.

所以，

則

，

因?yàn)?/span>為常數(shù)，

所以，解得，

此時(shí)

當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為.

則

所以

當(dāng)時(shí)，.

綜上可知，在軸上存在點(diǎn)，使得為常數(shù)，該常數(shù)為.