Question

(本題滿(mǎn)分14分)
如圖1，直角梯形中, 四邊形是正方形,,.將正方形沿折起，得到如圖２所示的多面體,其中面面,是中點(diǎn)．
(1) 證明：∥平面；
(2) 求三棱錐的體積.
     
圖１　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　圖２

Answer 1

（1）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（2）.

解析試題分析：本題主要考查中位線(xiàn)、平行四邊形的證明、線(xiàn)面平行、線(xiàn)面垂直、面面垂直、三棱錐的體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力、計(jì)算能力.第一問(wèn)，作出輔助線(xiàn)MN，N為中點(diǎn)，在中，利用中位線(xiàn)得到，且，結(jié)合已知條件，可證出四邊形ABMN為平行四邊形，所以，利用線(xiàn)面平行的判定，得∥平面；第二問(wèn)，利用面面垂直的性質(zhì)，判斷面，再利用已知的邊長(zhǎng)，可證出，則利用線(xiàn)面垂直的判定得平面BDE，再利用面面垂直的判定得平面平面，所以作，則利用面面垂直的性質(zhì)，可得平面，則為三棱錐的高，再利用三棱錐的體積公式求體積即可.
(1)證明：取中點(diǎn)，連結(jié)．

在△中，分別為的中點(diǎn)，所以∥ ．由已知∥，，所以∥，且．所以四邊形為平行四邊形，所以∥．  ３分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d7/c/ny0vm.png" style="vertical-align:middle;" />平面，且平面，
所以∥平面．       4分
（２）面面，面，
面面，，面
又面，       6分
梯形中，,，,
所以，, ,
,所以, 平面       8分
又平面,所以，平面平面　
作,則平面，