Question

19．過原點的直線與雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）交于M，N兩點，P是雙曲線上異于M，N的一點，若直線MP與直線NP的斜率都存在且乘積為$\frac{5}{4}$，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{9}{4}$
• C． $\frac{5}{4}$
• D． 2

Answer 1

分析 設(shè)P（x₀，y₀），M（x₁，y₁），則N（x₂，y₂）．利用k_PMk_PN=$\frac{5}{4}$，化簡，結(jié)合平方差法求解雙曲線C的離心率．

解答 解：由雙曲線的對稱性知，可設(shè)P（x₀，y₀），M（x₁，y₁），則N（x₂，y₂）．
由k_PMk_PN=$\frac{5}{4}$，可得：$\frac{{{y_0}-{y_1}}}{{{x_0}-{x_1}}}•\frac{{{y_0}+{y_1}}}{{{x_0}+{x_1}}}=\frac{5}{4}$，即$y_0^2-y_1^2=\frac{5}{4}（x_0^2-x_1^2）$，即$\frac{5}{4}x_0^2-y_0^2=\frac{5}{4}x_1^2-y_1^2$，
又因為P（x₀，y₀），M（x₁，y₁）均在雙曲線上，
所以$\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1$，$\frac{x_1^2}{a^2}-\frac{y_1^2}{b^2}=1$，所以${a^2}=\frac{4}{5}，{b^2}=1$，
所以c²=a²+b²=$\frac{9}{5}$，所以雙曲線C的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\frac{3}{\sqrt{5}}}{\frac{2}{\sqrt{5}}}$=$\frac{3}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，平方差法的應(yīng)用，考查計算能力．