Question

設函數(shù)f(x)=log2

2x-1

2x+1

(x＜-

1

2

或x＞

1

2

)．
（1）證明：f（x）是奇函數(shù)；
（2）求f（x）的單調區(qū)間；
（3）寫出函數(shù)g(x)=log2

2x+1

2x+3

圖象的一個對稱中心．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知中函數(shù)的解析式及定義域，我們只要根據(jù)對數(shù)的運算性質求出f（-x）的解析式，與f（x）比較后可得f（x）是奇函數(shù)；
（2）根據(jù)復合函數(shù)單調性的求出，我們分別確定u=1-

2

2x+1

和y=log₂u，進而根據(jù)同增異減的原則，可以分析出f（x）的單調區(qū)間；
（3）根據(jù)函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）解析式的關系，易得函數(shù)g(x)=log2

2x+1

2x+3

=log2

2(x+1)-1

2(x+1)+1

的圖象是由f（x）圖象向左平移一個單位得到的，結合（1）中結論可得函數(shù)g（x）圖象的對稱中心．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=log2

2x-1

2x+1

(x＜-

1

2

或x＞

1

2

)
且f(-x)=log2

-2x-1

-2x+1

=log2

2x+1

2x-1

=log2(

2x-1

2x+1

)-1=-log2

2x-1

2x+1

=-f（x）
即f（x）是奇函數(shù)；（4分）
（2））∵函數(shù)f(x)=log2

2x-1

2x+1

=log2(1-

2

2x+1

)
∵在(-∞，-

1

2

)上u=1-

2

2x+1

為增函數(shù)，y=log₂u也為增函數(shù)
∴(-∞，-

1

2

)是函數(shù)f(x)=log2

2x-1

2x+1

的單調遞增區(qū)間
又∵奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調性相同
∴(

1

2

，+∞)也是函數(shù)f(x)=log2

2x-1

2x+1

的單調遞增區(qū)間…（6分）
（3）由（1）中f（x）是奇函數(shù)
故f（x）圖象的對稱中心為原點（0，0）
∵函數(shù)g(x)=log2

2x+1

2x+3

=log2

2(x+1)-1

2(x+1)+1

的圖象是由f（x）圖象向左平移一個單位得到的
故函數(shù)g(x)=log2

2x+1

2x+3

圖象的對稱中心為（-1，0）…（4分）

點評：本題是函數(shù)奇偶性的證明，函數(shù)單調區(qū)間的求法，及函數(shù)圖象平移的綜合應用，其中（1）（2）的關鍵是熟練掌握判定函數(shù)奇偶性及單調性的方法，（3）的關鍵是分析出兩個函數(shù)圖象之間的位置關系．