Question

15．在銳角三角形ABC中，角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，若b²=ac，則cosB的取值范圍為[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）．

Answer 1

分析 再利用余弦定理表示出cosB，把得出關(guān)系式代入并利用基本不等式求出cosB的范圍即可．

解答 解：在銳角三角形ABC中，若b²=ac，
則cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
①若a=c，則cosB=$\frac{1}{2}$，此時(shí)滿足條件．
②若a≠c，不妨設(shè)a＞c，則A為最大角，
則cosA＞0，得出cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\frac{ac+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$＞0，
即ac+c²-a²＞0，
則（$\frac{c}{a}$）²+$\frac{c}{a}$-1＞0，
則$\frac{c}{a}$＞$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或$\frac{c}{a}$＜$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$（舍），
即$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜$\frac{c}{a}$＜1，
則cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{a}{c}$+$\frac{c}{a}$-1）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{\frac{c}{a}}$+$\frac{c}{a}$-1），
設(shè)t=$\frac{c}{a}$，則$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜t＜1，
則cosB=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{1}{t}$-1）在$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜t＜1上為減函數(shù)，
在當(dāng)t=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$時(shí)，$\frac{1}{2}$（t+$\frac{1}{t}$-1）=$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$+$\frac{2}{\sqrt{5}-1}$-1）=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
當(dāng)t=1時(shí)，$\frac{1}{2}$（t+$\frac{1}{t}$-1）=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{1}{2}$＜cosB＜$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，綜上$\frac{1}{2}$≤cosB＜$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故答案為：[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）

點(diǎn)評(píng) 此題考查了余弦定理，以及基本不等式的應(yīng)用，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．