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已知，證明：不等式對任何正整數(shù)都成立.

證明見解析


解析:

證明：要證，只要證 .

因為 ，，

故只要證 ，

即只要證 .

因為，

所以命題得證.

本題通過化簡整理之后，再利用基本不等式由放大即可.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）對一切實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），f（1）=2，當(dāng)x＞0時，f（x）＜0
（1）證明f（x）為奇函數(shù)；
（2）證明f（x）為R上的減函數(shù)；
（3）解不等式f（x-1）-f（1-2x-x2）＜4．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，且

，

其中為常數(shù).

(Ⅰ)求與的值；

(Ⅱ)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；

(Ⅲ)證明：不等式對任何正整數(shù)都成立.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆浙江省高三上學(xué)期入學(xué)摸底理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)

（Ⅰ）若對任意，使得恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）證明：對，不等式成立.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆四川省高一下學(xué)期期中理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知正項數(shù)列的前n項和滿足：，

（1）求數(shù)列的通項和前n項和；

（2）求數(shù)列的前n項和；

（3）證明：不等式  對任意的，都成立．

【解析】第一問中，由于所以

兩式作差，然后得到

從而得到結(jié)論

第二問中，利用裂項求和的思想得到結(jié)論。

第三問中，

又

       

結(jié)合放縮法得到。

解：（1）∵     ∴

      ∴

      ∴   ∴  ………2分

      又∵正項數(shù)列，∴           ∴ 

又n=1時，

∴   ∴數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列……………3分

∴                             …………………4分

∴                   …………………5分 

（2）       …………………6分

    ∴

                          …………………9分

（3）

      …………………12分

又

        ，

   ∴不等式  對任意的，都成立．

 

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