Question

已知函數(shù)，其中N*，aR，e是自然對數(shù)的底數(shù)．

(1)求函數(shù)的零點(diǎn)；

(2)若對任意N*，均有兩個(gè)極值點(diǎn)，一個(gè)在區(qū)間(1，4)內(nèi)，另一個(gè)在區(qū)間[1，4]外，求a的取值范圍；

(3)已知k，mN*，k<m，且函數(shù)在R上是單調(diào)函數(shù)，探究函數(shù)的單調(diào)性．

 

Answer 1

（1）①當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)：

②當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)：

③當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)：

④當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)：

（2）的取值范圍是

（3）函數(shù)在上是減函數(shù).

【解析】

試題分析：（1）整理得，

故只需討論的判別式取值情況，確定函數(shù)的零點(diǎn).

（2）由于

所以重點(diǎn)討論，的圖像是開口向下的拋物線.

由題意對任意,即，討論求解.

（3）由(2)知, 存在，又函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，故函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù).

試題解析：（1），

設(shè),

①當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)： 1分

②當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)： 2分

③當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)： 3分

④當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)：

4分

（2） 5分

設(shè)，的圖像是開口向下的拋物線.

由題意對任意有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，

且

則對任意,即, 7分

又任意關(guān)于遞增,,

故

所以的取值范圍是 9分

（3）由(2)知, 存在，又函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，故函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù), 10分

從而即 11分

所以

由知 13分

即對任意

故函數(shù)在上是減函數(shù). 14分

考點(diǎn)：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值，轉(zhuǎn)化與化歸思想，函數(shù)零點(diǎn).