Question

【題目】已知橢圓： （）的焦距為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）、是橢圓上兩點(diǎn)，線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)，求面積的最大值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

【解析】【試題分析】（Ⅰ）由題設(shè)條件先求出左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)， ，再借助橢圓定義求得，進(jìn)而求得橢圓方程；（Ⅱ）先建立直線的方程為，借助坐標(biāo)之間的關(guān)系計(jì)算， 到直線的距離， 的面積函數(shù)，最后借助，從而求得：若，則，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立；若，則， ，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)， 時(shí)成立，最后求得面積的最大值為：

解析：（Ⅰ）依題意， ，橢圓的焦點(diǎn)為，

所以，橢圓的方程為

（Ⅱ）根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，直線與軸不垂直，設(shè)直線：

由得，

設(shè)， ，則，

， 到直線的距離， 的面積

依題意， ， ，

， ，代入整理得，

若，則，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立

若，則， ，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)， 時(shí)成立。

綜上所述， 面積的最大值為