Question

【題目】已知， .

（1）求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍；

（3）求證：當(dāng)時， .

Answer 1

【答案】（1）， 無極大值；（2）；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，令和，結(jié)合極值的定義得結(jié)果；（2）由對函數(shù)求導(dǎo)得到函數(shù)在上單調(diào)遞減， 單調(diào)遞增，要想有兩個零點(diǎn)結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想可得等價于解得結(jié)果；（3）問題等價于，由（1）知的最小值為，令（）使得成立即可.

試題解析：（1）

∴

由得，由，得

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴， 無極大值.

（2）

∴

又，易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

要使函數(shù)在內(nèi)有兩個零點(diǎn)，

需，即，∴，

∴，即的取值范圍是.

（3）問題等價于

由（1）知的最小值為

令（）

∴

易知在上單調(diào)遞增， 上單調(diào)遞減

∴

又

∴，

故當(dāng)時， 成立