Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左右焦點(diǎn)分別為和，且橢圓經(jīng)過點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過橢圓的右頂點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，，分別與橢圓交于點(diǎn)（均異于點(diǎn)），求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（2）見證明

【解析】

（1）利用橢圓的定義求得，根據(jù)焦點(diǎn)求得，結(jié)合求得，由此得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，寫出判別式及韋達(dá)定理，利用列出方程，并由此化簡直線方程，得到直線所過定點(diǎn).當(dāng)直線斜率不存在時，根據(jù)橢圓的對稱性，證得直線過定點(diǎn).

（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

，

∴

∴

∴

所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）①直線斜率存在，設(shè)直線：，，，聯(lián)立方程

消去得，

，，

，

又 ，

由得，

即，，∴，

∴，

∴.解得：

，，且均滿足，

當(dāng)時，直線的方程為，直線過定點(diǎn)，與已知矛盾；

當(dāng)時，直線的方程為，直線過定點(diǎn).

②由橢圓的對稱性所得，當(dāng)直線，的傾斜角分別為，，易得直線：，

：，直線，分別與橢圓交于點(diǎn)，，此時直線斜率不存在，

也過定點(diǎn)

綜上所述，直線恒過定點(diǎn)