Question

已知|

OA

|=4，|

OB

|=6，

OC

=x

OA

+y

OB

，且x+2y=1，∠AOB是鈍角，若f（t）=|

OA

-t

OB

|的最小值為2

3

，則|

OC

|的最小值是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)f（t）=|

OA

-t

OB

|的最小值為2

3

，作出向量

OA

-t

OB

，根據(jù)圖形，可知當(dāng)

OA

-t

OB

⊥

OB

時(shí)，f（t）=|

OA

-t

OB

|的最小值為2

3

，可以求出∠AOB，根據(jù)|

OC

|2=x2

OA

2+y2

OB

2+2xy

OA

• 

OB

，并把|

OA

|=4，|

OB

|=6代入，并利用二次函數(shù)求最值，即可求得結(jié)果．

解答：解：f（t）=|

OA

-t

OB

|的最小值為2

3

，
∴根據(jù)圖形知，當(dāng)

OA

-t

OB

⊥

OB

時(shí)，f（t）=|

OA

-t

OB

|的最小值為2

3

，
∵|

OA

|=4，∴∠AOB=120°，
∵

OC

=x

OA

+y

OB

，且x+2y=1，
∴|

OC

|2=x2

OA

2+y2

OB

2+2xy

OA

• 

OB

=16x²+36y²-24xy=16（1-2y）²+36y²-24（1-2y）y
=148y²-88y+16≥

108

37

．
∴|

OC

|的最小值是

6 111

37

；
故答案為

6 111

37

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬難題．考查向量和差的模的最值，利用作圖求得f（t）=|

OA

-t

OB

|的最小值為2

3

，以及此時(shí)兩向量的夾角是解題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，同時(shí)考查了靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力和運(yùn)算能力．