Question

13．已知命題p：關(guān)于x的方程a²x²-ax-2=0在x∈[-1，1]上有解；命題q：只有一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足不等式x²+2ax+2a≤0．
（1）若“p且q”是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若“p或q”是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 先求出p，q為真時(shí)的a的范圍，如果“p且q”為真命題，“p，q”也為真命題，則“p或q”為假命題．，“p，q”都假，即可求解．

解答 解：對(duì)于命題p：由a²x²-ax-2=0在[-1，1]上有解，
當(dāng)a=0時(shí)，不符合題意；
當(dāng)a≠0時(shí)，方程可化為：（ax-2）（ax+1）=0，
解得：x=$\frac{2}{a}$，或x=-$\frac{1}{a}$，
∵x∈[-1，1]，
∴-1≤$\frac{2}{a}$≤1或-1≤-$\frac{1}{a}$≤1，
解得：a≥2或a≤-2
對(duì)于命題q：由只有一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足不等式x²+2ax+2a≤0
得拋物線y=x²+2ax+2a與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴△=4a²-8a=0
∴a=0或a=2
（1）若“p且q”是真命題，則a=2，
（2）若“p或q”是假命題，則-2＜a＜2且a≠0．

點(diǎn)評(píng) 由簡(jiǎn)單命題和邏輯連接詞構(gòu)成的復(fù)合命題的真假可以用真值表來(lái)判斷，反之根據(jù)復(fù)合命題的真假也可以判斷簡(jiǎn)單命題的真假．假若p且q真，則p 真，q也真；若p或q真，則p，q至少有一個(gè)真；若p且q假，則p，q都假，本題屬于基礎(chǔ)題．