Question

20．已知函數(shù)f（x）=|x-5|-|x-2|．
（1）若?x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范圍；
（2）求不等式x²-8x+15+f（x）≤0的解集．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，求出f（x）的分段函數(shù)的形式，求出m的范圍即可；
（2）通過討論x的范圍，求出不等式的解集即可．

解答 解：（1）$f（x）=|x-5|-|x-2|=\left\{\begin{array}{l}3，\;x≤2\\ 7-2x，2＜x＜5\\-3，x≥5.\end{array}\right.$，
當(dāng)2＜x＜5時(shí)，-3＜7-2x＜3，
所以-3≤f（x）≤3，
∴m≥-3；
（2）不等式x²-8x+15+f（x）≤0，
即-f（x）≥x²-8x+15由（1）可知，
當(dāng)x≤2時(shí)，-f（x）≥x²-8x+15的解集為空集；
當(dāng)2＜x＜5時(shí)，-f（x）≥x²-8x+15，
即x²-10x+22≤0，∴$5-\sqrt{3}≤x＜5$；
當(dāng)x≥5時(shí)，-f（x）≥x²-8x+15，
即x²-8x+12≤0，∴5≤x≤6；
綜上，原不等式的解集為$\left\{{x\left|{5-\sqrt{3}≤x≤6}\right.}\right\}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．