Question

【題目】如圖，已知多面體，，，均垂直于平面ABC，，，，

（1）證明：平面；

（2）求平面與平面所成的銳角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以射線OB，OC為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，利用向量法能證明AB1⊥平面A1B1C1．

（2）求出平面AB1C1的一個(gè)法向量和平面ABB1的一個(gè)法向量，利用向量法能求出平面AB1C1與平面ABB1所成的角的余弦值．

（1）由，，均垂直于平面ABC，則平面平面ABC

∴取AC中點(diǎn)O，過(guò)O作平面ABC的垂線OD，交A1C1于D，

∵AB＝BC，∴OB⊥OC，

∵AB＝BC＝2，∠BAC＝120°，∴OB＝1，OA＝OC，

以O為原點(diǎn)，以OB，OC，OD所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則A（0，，0），B（1，0，0），B1（1，0，2），C1（0，，1），A1（0，，4），

∴（1，，0），（0，2，1），

，，

由，得．

由，得，

∴平面．

（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則由，得．

設(shè)平面ABB1的法向量為，則，

∴，令y＝1可得（，1，0），

∴，

∴平面與平面所成的銳角的余弦值為．