Question

19．若函數(shù)f（x）在區(qū)間A上，對(duì)?a，b，c∈A，f（a），f（b），f（c）為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱(chēng)函數(shù)f（x）為“三角形函數(shù)”．已知函數(shù)f（x）=xlnx+m在區(qū)間$[{\frac{1}{e^2}，e}]$上是“三角形函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（$\frac{{e}^{2}+2}{e}$，+∞）．

Answer 1

分析 若f（x）為“三角形函數(shù)”．則在區(qū)間D上，函數(shù)的最大值M和最小值m應(yīng)滿足：M＜2m，利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的最值，可得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：若f（x）為“區(qū)域D上的三角形函數(shù)”．
則在區(qū)間D上，函數(shù)的最大值M和最小值m應(yīng)滿足：M＜2m，
∵函數(shù)f（x）=xlnx+m在區(qū)間[$\frac{1}{{e}^{2}}$，e]上是“三角形函數(shù)”，
f′（x）=lnx+1，
當(dāng)x∈[$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{1}{e}$）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）遞減；
當(dāng)x∈（$\frac{1}{e}$，e]時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）遞增；
故當(dāng)x=$\frac{1}{e}$時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值-$\frac{1}{e}$+m，
又由f（e）=e+m，f（$\frac{1}{{e}^{2}}$）=-$\frac{2}{{e}^{2}}$+m，
故當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)f（x）取最大值e+m，
∴0＜e+m＜2（-$\frac{1}{e}$+m），
解得：m∈（ $\frac{{e}^{2}+2}{e}$，+∞），
故答案為：（$\frac{{e}^{2}+2}{e}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的最值，能正確理解f（x）為“三角形函數(shù)”的概念，是解答的關(guān)鍵．