Question

4．已知函數(shù)f（x）=cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，x∈R
 （1）求f（x）的最小正周期及單調(diào)減區(qū)間；
（2）求f（x）在閉區(qū)間$[-\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性，求得f（x）的最小正周期及單調(diào)減區(qū)間．
（2）利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）在閉區(qū)間$[-\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}]$上的最大值和最小值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{2}$sinxcosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos²x-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cos2x=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π； 
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{11π}{12}$，可得f（x）的減區(qū)間為  $[{\frac{5}{12}π+kπ，\frac{11}{12}π+kπ}]$，$\begin{array}{l}k∈Z\end{array}$．
（2）在閉區(qū)間$[-\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}]$上，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，故當(dāng)2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$時，函數(shù)f（x）取得最大值為$\frac{1}{4}$，
當(dāng)2x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{2}$時，函數(shù)f（x）取得最小值為-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性，定義域和值域，屬于中檔題．