Question

（2012年高考（四川文））已知為正實(shí)數(shù),為自然數(shù),拋物線與軸正半軸相交于點(diǎn),設(shè)為該拋物線在點(diǎn)處的切線在軸上的截距.

(Ⅰ)用和表示;

(Ⅱ)求對(duì)所有都有成立的的最小值;

(Ⅲ)當(dāng)時(shí),比較與

的大小,并說(shuō)明理由.

Answer 1

 (1)由已知得,交點(diǎn)A的坐標(biāo)為,對(duì)

則拋物線在點(diǎn)A處的切線方程為:

 

(2)由(1)知f(n)=,則

即知,對(duì)于所有的n成立,

特別地,當(dāng)n=1時(shí),得到a≥3

當(dāng)a=3,n≥1時(shí),

當(dāng)n=0時(shí),=2n+1.故a=3時(shí)對(duì)所有自然數(shù)n均成立.

所以滿足條件的a的最小值為3 

(3)由(1)知f(k)=

下面證明:

首先證明0<x<1時(shí),

設(shè)函數(shù)g(x)=6x(x2-x)+1,0<x<1,  則.

當(dāng)時(shí),g'(x)<0;   當(dāng)

故g(x)在區(qū)間(0,1)上的最小值

所以,當(dāng)0<x<1時(shí),g(x)>0,即得

由0<a<1知

 

 

【點(diǎn)評(píng)】本小題屬于高檔題,難度較大,需要考生具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式、數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí);考查了思維能力、運(yùn)算能力、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力和創(chuàng)新意識(shí)能力;且又深層次的考查了函數(shù)、轉(zhuǎn)換與化歸、特殊與一般等數(shù)學(xué)思維方法.