Question

13．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知tanA=$\frac{1}{2}$，tanB=$\frac{1}{3}$，且最長邊的長為1，則△ABC最短邊的長為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由題意和兩角和的正切公式易得tanC，可得c=1，b為最短邊，由正弦定理可得．

解答 解：由題意可得tanC=-tan（A+B）
=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}}$=-1，
∴C=135°，c為最長邊，故c=1，
又∵0＜tanB=$\frac{1}{3}$＜$\frac{1}{2}$=tanA，
∴B為最小角，b為最短邊，
∵tanB=$\frac{1}{3}$，∴sinB=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
由正弦定理可得b=$\frac{csinB}{sinC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查解三角形，涉及正弦定理和兩角和的正切公式，屬中檔題．