Question

【題目】已知函數(shù).

（1）證明函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增；

（2）求函數(shù)的值域；

（3）令，討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)

【解析】

（1）求出函數(shù)定義域后直接用定義法即可證明；

（2）由題意得，對(duì)兩邊同時(shí)平方得，求出

的取值范圍即可得解；

（3）轉(zhuǎn)化條件得，令，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論即可得解.

（1）證明：令，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?/span>

令，

由，可得，所以，，

故即，所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增.

（2）由，，故，

，

當(dāng)時(shí)，，有，可得：，故，

由，可得，故函數(shù)的值域?yàn)?/span>，

（3）由（2）知，

則，

令，則，

令，

①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)沒有零點(diǎn)，故函數(shù)也沒有零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，而，，故函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，又由函數(shù)單調(diào)遞增，可得函數(shù)也只有一個(gè)零點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)，，二次函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸，

又 ，，此時(shí)函數(shù)沒有零點(diǎn)，故函數(shù)也沒有零點(diǎn).

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).