Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)M(2，1)，N(，-).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)經(jīng)過點(diǎn)M作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，分別與橢圓C相交于異于M點(diǎn)的A，B兩點(diǎn)，求直線AB的斜率.

Answer 1

【答案】(1);(2)

【解析】

（1）設(shè)橢圓的方程為，將兩點(diǎn)代入得到關(guān)于的方程組，解出方程組即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線，，的斜率分別為，直線的方程為，傾斜角互補(bǔ)等同于，聯(lián)立直線與橢圓的方程結(jié)合韋達(dá)定理，代入中化簡可得，進(jìn)而可得結(jié)果.

（1）設(shè)橢圓的方程為

∵點(diǎn)和在橢圓上

∴，解得

∴橢圓的方程為.

（2）∵點(diǎn)為橢圓上異于的兩點(diǎn)，且直線，的傾斜角互補(bǔ)，

∴直線，，的斜率存在，設(shè)它們的斜率分別為

設(shè)，，直線的方程為，

∴，

∴，

由，消去，得

由，得，

∴

∴

∴

∴

∴或，

∵點(diǎn)為橢圓上異于的兩點(diǎn)

∴當(dāng)時，直線的方程為，不合題意，舍去

∴直線的斜率為.