Question

11．已知F是雙曲線C：x²-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1的右焦點(diǎn)，P是C的左支上一點(diǎn)，A（0，6$\sqrt{6}$）．當(dāng)△APF周長(zhǎng)最小時(shí)，該三角形的面積為12$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 利用雙曲線的定義，確定△APF周長(zhǎng)最小時(shí)，P的坐標(biāo)，即可求出△APF周長(zhǎng)最小時(shí)，該三角形的面積．

解答 解：由題意，設(shè)F′是左焦點(diǎn)，則△APF周長(zhǎng)=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF′|+2
≥|AF|+|AF′|+2（A，P，F(xiàn)′三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào)），
直線AF′的方程為$\frac{x}{-3}+\frac{y}{6\sqrt{6}}=1$與x²-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1聯(lián)立可得y²+6$\sqrt{6}$y-96=0，
∴P的縱坐標(biāo)為2$\sqrt{6}$，
∴△APF周長(zhǎng)最小時(shí)，該三角形的面積為$\frac{1}{2}×6×6\sqrt{6}$-$\frac{1}{2}×6×2\sqrt{6}$=12$\sqrt{6}$．
故答案為：12$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義，考查三角形面積的計(jì)算，確定P的坐標(biāo)是關(guān)鍵．