Question

【題目】如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E為BD的中點(diǎn)，G為PD的中點(diǎn)，，，，連接CE并延長交AD于F.

（1）求證：AD⊥平面CFG；

（2）求平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）

【解析】

（1）根據(jù)已知可得，，所以可得證AD⊥平面CFG；

（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)，分別求出平面BCP與平面DCP的法向量，從而可得出兩平面的夾角的余弦值.

（1）因為，所以是等邊三角形，,

在中，即，

平面平面平面；

（2）建立空間坐標(biāo)系A-xyz如圖所示，

則,

向量

設(shè)平面PBC的法向量平面PDC的法向量則

得，

得，

設(shè)平面BCP與平面DCP的夾角為，由圖示可知，為銳角，所以

兩平面夾角的余弦，

所以平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值為.

故得解.