Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$（x∈R）．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用定義證明；
（Ⅱ）若f（x）≤m對定義域內(nèi)的任意x都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可；（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最值，從而求出函數(shù)f（x）的值域，進(jìn)而求出m的范圍．

解答 （Ⅰ）f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上是減函數(shù)，在（-1，1）上是增函數(shù)，
證明如下：
證明：設(shè)x₁＜x₂，
則：f（x₁）-f（x₂）
=$\frac{{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}+1}$-$\frac{{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}+1}$
=$\frac{{x}_{1}{{（x}_{2}}^{2}+1）{-x}_{2}{{（x}_{1}}^{2}+1）}{{{（x}_{1}}^{2}+1）{{（x}_{2}}^{2}+1）}$
=$\frac{{（x}_{2}{-x}_{1}）{{（x}_{1}x}_{2}-1）}{{{（x}_{1}}^{2}+1）{{（x}_{2}}^{2}+1）}$，
∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，
①當(dāng)x₁•x₂＜1，即x₁，x₂∈（-1，1）時(shí)：
f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），是增函數(shù)，
②當(dāng)x₁•x₂＞1，即x₁，x₂∈（-∞，-1）或（1，+∞）時(shí)：
f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），是減函數(shù)；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
f（x）在（-∞，-1）遞減，在（-1，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴f（x）_最小值=f（-1）=-$\frac{1}{2}$，f（x）_最大值=f（1）=$\frac{1}{2}$，
∴|f（x）|≤$\frac{1}{2}$，
∴m≥$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的證明問題，考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用求函數(shù)的最值問題，是一道中檔題．