Question

【題目】如圖1，在梯形中，，點(diǎn)在線段上，且滿(mǎn)足，將沿翻折，使翻折后的二面角的余弦值為，如圖2．

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）先根據(jù)菱形的性質(zhì)證得線線垂直，再根據(jù)線面垂直的判定定理證得線面垂直，最后根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理證得線線垂直；

（2）先通過(guò)作輔助線找到所求的線面角及二面角的平面角，再通過(guò)解三角形求相關(guān)線段的長(zhǎng)度，即可得線面角的正弦值，也可根據(jù)垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行求解．

解：（1）在梯形中，

連接，

記．

由題意易得，

所以四邊形是平行四邊形，

又，

所以四邊形是菱形，

所以，

所以．

又，平面，

所以平面，又平面，

所以．

（2）因?yàn)?/span>平面平面，

所以平面平面．

過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

如圖所示，

因?yàn)槠矫?/span>平面，

所以平面．

延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，

則為直線與平面所成的角．

由，

得二面角的平面角為，

則，

所以．

由四邊形是菱形，

且易得，

得為等邊三角形，

所以，

所以．

在中，易知為的中位線，，

所以，

所以，

即直線與平面所成角的正弦值為．