Question

16．已知a＞0，函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$a²x³-ax²+$\frac{2}{3}$，判斷函數(shù)f（x）在[-1，1]上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)x所在的區(qū)間，通過討論a的范圍，從而求出函數(shù)的單調(diào)性．

解答 解：f′（x）=ax（ax-2），
（1）當(dāng)x∈[0，1]時，x≥0，∴ax≥0，
①當(dāng)0＜a＜2時，ax-2＜0，
此時：ax（ax-2）＜0，從而f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）在[0，1}上單調(diào)遞減，
②當(dāng)a≥2時，ax-2≥0，
∴ax（ax-2）≥0，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在[0，1]遞增；
（2）當(dāng)x∈[-1，0]時，x≤0，
∴ax≤0，ax-2≤-2，
∴ax（ax-2）≥0，
∴f′（x）≥0，
∴f（x）在[-1，0]單調(diào)遞增．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分類討論思想，是一道中檔題．