Question

【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形是直角梯形，且是正三角形，是的中點.

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）證明四邊形是平行四邊形可推出，即可證明線面平行；（2）作出線面角，通過解三角形知識求解或建立空間直角坐標系，利用空間向量的夾角公式求解.

（1）證明：取的中點，連接，

因為是的中位線，所以，且，

因為，所以且，

則四邊形是平行四邊形，所以，

又因為平面平面，

所以平面.

（2）解法一：取的中點，連接，

因為是正三角形，所以，

在直角梯形中，因為，

所以可得，且

又，平面，平面，

所以平面，

又平面，所以平面平面，

過點作，垂足是，連接，

則即是直線與平面所成的角，

在中，，可得，

所以，又，

所以，

所以直線與平面所成角的正弦值是.

解法二：如圖，以為原點，所在直線分別為軸、軸建立空間直角坐標系，

由已知條件得，

所以，

設，由

得.

所以，

設平面的法向量，

則即得平面的一個法向量是，

可得，則，

設直線與平面所成角為，

則，

所以直線與平面所成角的正弦值是.