Question

【題目】已知函數(shù)（，是自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）若函數(shù)在點處的切線方程為，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）①當(dāng)，時，若對于任意，都有恒成立，求實數(shù)的最小值；②當(dāng)時，設(shè)函數(shù)，是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）①；②存在，使得命題成立

【解析】

（1）利用切線方程可知，，從而構(gòu)造出方程組求得，得到解析式，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號確定的單調(diào)區(qū)間；（2）①將問題轉(zhuǎn)化為對任意恒成立；設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求解，可得；②設(shè)存在，使得，將問題轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)分別在，和研究的最大值和最小值，從而根據(jù)最值的關(guān)系可求得的取值范圍.

（1）由題意

在點處的切線方程為：

，，即： 解得：，

，

當(dāng)時，，當(dāng)時，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

（2）①由，，，即：

對任意，都有恒成立等價于對任意恒成立

記，

設(shè) 對恒成立

在單調(diào)遞增

而，

在上有唯一零點

當(dāng)時，，當(dāng)時，

在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

的最大值是和中的較大的一個

，即 ，

的最小值為

②假設(shè)存在，使得，則問題等價于

⑴當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減

，即，得：

（2）當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增

，即，得：

（3）當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時，，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

，即……（*）

由（1）知在上單調(diào)遞減，故，而

不等式（*）無解

綜上所述，存在，使得命題成立