Question

【題目】已知橢圓，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與相交于兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn).

（1）若，且恰為線段的中點(diǎn)，求證：線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)；

（2）若，設(shè)分別為 的左、右頂點(diǎn)，直線、相交于點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)異于時(shí)，是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）是，4.

【解析】

（1）設(shè)，，由是橢圓上的點(diǎn)可得，兩式相減進(jìn)行整理可得，從而可求出，則可得的垂直平分線的斜率，由點(diǎn)斜式可得的垂直平分線的方程為，即可得所過(guò)定點(diǎn).

（2）由點(diǎn)斜式得直線的方程為，則點(diǎn)從而可求；

得直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立可求出其交點(diǎn)橫坐標(biāo)，聯(lián)立與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得，即可求出的值，從而可判斷是否為定值.

解：設(shè)，.

（1）由題意知，直線的斜率為，因?yàn)?/span>是橢圓上的點(diǎn)，則 ，

兩式相減，整理得，所以，故線段的垂直平分線的斜率為，

從而線段的垂直平分線的方程為，

所以，線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).

（2）直線的方程為，由條件知：，則點(diǎn)，.

聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去得：，

所以，.

直線的方程為①，直線的方程為②.

設(shè)點(diǎn)，由①，②得，

.

所以，.即為定值4.