Question

設(shè),分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，過作傾斜角為的直線交橢圓于,兩點(diǎn), 到直線的距離為,連結(jié)橢圓的四個頂點(diǎn)得到的菱形面積為.
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓的左頂點(diǎn)作直線交橢圓于另一點(diǎn), 若點(diǎn)是線段垂直平分線上的一點(diǎn),且滿足,求實(shí)數(shù)的值．

Answer 1

（1）橢圓的方程為；（2）滿足條件的實(shí)數(shù)的值為或.

試題分析：（1）利用橢圓的幾何性質(zhì)及到直線的距離為，建立的方程組即得；
（2）由（1）知:, 設(shè)
根據(jù)題意可知直線的斜率存在，可設(shè)直線斜率為,則直線的方程為
把它代入橢圓的方程,消去,整理得:
應(yīng)用韋達(dá)定理以便于確定線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為.
討論當(dāng)，的情況，確定的值.
試題解析：（1）設(shè),的坐標(biāo)分別為,其中
由題意得的方程為:
因到直線的距離為,所以有,解得    1分
所以有   ①
由題意知: ,即 ②
聯(lián)立①②解得:
所求橢圓的方程為                  5分
（2）由（1）知:, 設(shè)
根據(jù)題意可知直線的斜率存在，可設(shè)直線斜率為,則直線的方程為
把它代入橢圓的方程,消去,整理得:
由韋達(dá)定理得,則,，
，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為   7分
(ⅰ)當(dāng)時, 則有,線段垂直平分線為軸
于是
由,解得:           9分
（ii）因?yàn)辄c(diǎn)是線段垂直平分線的一點(diǎn),
令,得:，于是
由,解得:
代入,解得:
綜上, 滿足條件的實(shí)數(shù)的值為或           13分